微分積分例

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ と ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ を ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

ステップ 2.2.3

$n$ と $0$ をたし算します。

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

ステップ 2.2.5

$n$ から $n$ を引きます。

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = \frac{1}{5}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$n$ の $1$ を $(125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ に代入します。

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{0}$

ステップ 3.2.2

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$a = 125 \frac{1^{0}}{5^{0}}$

ステップ 3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 125 \frac{1}{5^{0}}$

ステップ 3.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 125 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.5

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.1

共通因数を約分します。

$a = 125 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.5.2

式を書き換えます。

$a = 125 \cdot 1$

ステップ 3.2.6

$125$ に $1$ をかけます。

$a = 125$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$125 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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ステップ 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$125 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}})$

ステップ 5.1.2

まとめる。

$125 \frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

ステップ 5.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{1}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$5$ に $1$ をかけます。

$125 \frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$125 \frac{5 + 5 (- \frac{1^{4}}{5^{4}})}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

$- \frac{1^{4}}{5^{4}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5^{4}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.2

$5$ を $5^{4}$ で因数分解します。

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.3

共通因数を約分します。

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.3.4

式を書き換えます。

$125 \frac{5 + \frac{- 1^{4}}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.5

$5$ を $3$ 乗します。

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$125 \frac{5 + \frac{- 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$125 \frac{5 - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.8

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{125}{125}$ を掛けます。

$125 \frac{5 \cdot \frac{125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.9

$5$ と $\frac{125}{125}$ をまとめます。

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.10

公分母の分子をまとめます。

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.11.1

$5$ に $125$ をかけます。

$125 \frac{\frac{625 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.4.11.2

$625$ から $1$ を引きます。

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$5$ に $1$ をかけます。

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 - 1}$

ステップ 5.5.2

$5$ から $1$ を引きます。

$125 \frac{\frac{624}{125}}{4}$

ステップ 5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$125 (\frac{624}{125} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 5.7

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.1

$4$ を $624$ で因数分解します。

$125 (\frac{4 (156)}{125} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 5.7.2

共通因数を約分します。

$125 (\frac{4 \cdot 156}{125} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 5.7.3

式を書き換えます。

$125 (\frac{156}{125})$

ステップ 5.8

$125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.1

共通因数を約分します。

$125 (\frac{156}{125})$

ステップ 5.8.2

式を書き換えます。

$156$

微分積分 例

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