微分積分例

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

ステップ 1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

ステップ 2

$\sum_{x = 1}^{8} 1$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.2

値を公式に代入します。

$(1) (8)$

ステップ 2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$8$

ステップ 3

$\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

総和から因数 $- 1$ をくくり出します。

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

ステップ 3.2

$x$ の各値の級数を展開します。

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

ステップ 3.3

展開形を簡約します。

$- \frac{8371}{280}$

ステップ 4

$\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 4.2

値を公式に代入します。

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$8$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1

$2$ を $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

ステップ 4.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

ステップ 4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

ステップ 4.3.2.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

ステップ 4.3.2.3

$4$ に $9$ をかけます。

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

ステップ 4.3.2.4

$16$ と $1$ をたし算します。

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

ステップ 4.3.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$36$ に $17$ をかけます。

$\frac{612}{3}$

ステップ 4.3.3.2

$612$ を $3$ で割ります。

$204$

ステップ 5

合計した結果をたします。

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

公分母を求めます。

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ステップ 6.1.1

$8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

ステップ 6.1.2

$\frac{8}{1}$ に $\frac{280}{280}$ をかけます。

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

ステップ 6.1.3

$\frac{8}{1}$ に $\frac{280}{280}$ をかけます。

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

ステップ 6.1.4

$204$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

ステップ 6.1.5

$\frac{204}{1}$ に $\frac{280}{280}$ をかけます。

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

ステップ 6.1.6

$\frac{204}{1}$ に $\frac{280}{280}$ をかけます。

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

ステップ 6.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

ステップ 6.3

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$8$ に $280$ をかけます。

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

ステップ 6.3.2

$204$ に $280$ をかけます。

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

ステップ 6.4

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.4.1

$2240$ から $8371$ を引きます。

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

ステップ 6.4.2

$- 6131$ と $57120$ をたし算します。

$\frac{50989}{280}$

微分積分 例

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