微分積分例

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1.1

$2$ を $2 r$ で因数分解します。

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.2

積の法則を $2 (r)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.2

$2^{\frac{2}{3}}$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ です。

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.3

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 1.7.2

$2$ から $3$ を引きます。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 1.8

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 1.9

$\frac{2}{3}$ と $r^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.10

$2^{\frac{2}{3}}$ と $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 1.11

指数を足して $2^{\frac{2}{3}}$ に $2$ を掛けます。

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ステップ 1.11.1

$2$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.11.2

$2$ に $2^{\frac{2}{3}}$ をかけます。

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ステップ 1.11.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.11.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.11.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.11.5

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $r^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

式の変数 $r$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3

括弧を削除します。

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

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