微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${\tan (x)}^{\cos (x)}$ を $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

ステップ 1.2

$\cos (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ を展開します。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

ステップ 2

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

ステップ 3

左側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

ステップ 3.2

$\cos (x) \ln (\tan (x))$ を $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

ステップ 3.3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

ステップ 3.3.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

ステップ 3.3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

ステップ 3.3.1.3.2

$x$ 値が $\frac{π}{2}$ に左から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.3.1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

ステップ 3.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\tan (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.5

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.6.1

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.6.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.7

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.8

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\sec^{2} (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.9

簡約します。

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ステップ 3.3.3.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.9.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.9.1.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.9.1.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.9.1.3.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.9.1.3.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.9.1.3.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.9.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.9.2

項をまとめます。

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ステップ 3.3.3.9.2.1

$\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ を積として書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.9.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

ステップ 3.3.3.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\cos^{- 1} (x)$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

ステップ 3.3.3.11

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.3.11.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

ステップ 3.3.3.11.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

ステップ 3.3.3.11.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

ステップ 3.3.3.12

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

ステップ 3.3.3.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

ステップ 3.3.3.14

$\cos^{- 2} (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

ステップ 3.3.3.15

簡約します。

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ステップ 3.3.3.15.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

ステップ 3.3.3.15.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

ステップ 3.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.3.5

因数をまとめます。

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ステップ 3.3.5.1

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

ステップ 3.3.5.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

ステップ 3.3.5.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

ステップ 3.3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

ステップ 3.3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

ステップ 3.3.6

$\cos^{2} (x)$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

ステップ 3.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.2.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

ステップ 3.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

ステップ 3.3.6.2.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 3.3.7

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

ステップ 3.3.8

分数を分解します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.3.9

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

ステップ 3.3.10

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

ステップ 3.4

極限を求めます。

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ステップ 3.4.1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

ステップ 3.4.2

余割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

ステップ 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

ステップ 3.5

すべての $x$ に $\frac{π}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.5.1

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

ステップ 3.5.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

ステップ 3.6

答えを簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

ステップ 3.6.2

$\cot (\frac{π}{2})$ に $1$ をかけます。

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

ステップ 3.6.3

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$e^{0}$

ステップ 3.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

ステップ 4

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

ステップ 5

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ の極限値を求めます。

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\tan (\frac{π}{2})$ を書き換えます。

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

ステップ 5.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

ステップ 5.4

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 6

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

微分積分例