微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 15} - 4}{x - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 15} - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 15} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 15} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 15} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.1.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 15} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $15$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 15} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.1.6

$x$ が $1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 15} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1^{2} + 15} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt{1 + 15} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$1$ と $15$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.3.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^{2} + 15} - 4}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 15} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 15} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{x^{2} + 15} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 15}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 15}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 15}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 15}$ を ${(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 15$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 15$ とします。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 15] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 15$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $x^{2} + 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [15]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.5

$15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $15$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.11

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{{(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.13

$2$ と $\frac{{(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.14

$\frac{2 {(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.16

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.3.17

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

ステップ 1.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

${(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x^{2} + 15}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 15}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 15}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 15}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 15}}$

ステップ 2.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 15}}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 15}}$

ステップ 2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 15}}$

ステップ 2.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $15$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 15}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 15}}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 15}}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 15}}$

ステップ 4.2

$1$ と $15$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{16}}$

ステップ 4.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 4.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

微分積分例