微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{16 - x^{2}}{x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} 16 - x^{2}}{lim_{x \to 4} x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} 16 - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$\frac{16 - lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{16 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{16 - 4^{2}}{lim_{x \to 4} x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 4} x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 4} x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1.1.2.3.2

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 8 x + 16}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 8 x + lim_{x \to 4} 16}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 8 x + lim_{x \to 4} 16}$

ステップ 1.1.3.3

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 16}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $4$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 4} x + 16}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4^{2} - 8 lim_{x \to 4} x + 16}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4^{2} - 8 \cdot 4 + 16}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{16 - 8 \cdot 4 + 16}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{16 - 32 + 16}$

ステップ 1.1.3.6.2

$16$ から $32$ を引きます。

$\frac{0}{- 16 + 16}$

ステップ 1.1.3.6.3

$- 16$ と $16$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{16 - x^{2}}{x^{2} - 8 x + 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $16 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}$

ステップ 1.3.3

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}$

ステップ 1.3.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $2 x$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} - 8 x + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]}$

ステップ 1.3.8.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]}$

ステップ 1.3.9

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 x - 8 + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{- 2 x}{2 x - 8}$

ステップ 1.4

$- 2$ と $2 x - 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (- x)}{2 x - 8}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (- x)}{2 (x) - 8}$

ステップ 1.4.2.2

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (- x)}{2 x + 2 \cdot - 4}$

ステップ 1.4.2.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (- x)}{2 (x - 4)}$

ステップ 1.4.2.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (- x)}{2 (x - 4)}$

ステップ 1.4.2.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{- x}{x - 4}$

ステップ 2

関数が左から $\infty$ に右から $- \infty$ に近づくので、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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