微分積分例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 8 x + 0$

ステップ 1.3.2

$4 x^{3} - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 8 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 8 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x + 0$

ステップ 4.1.3.2

$4 x^{3} - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 8 x$ です。

$4 x^{3} - 8 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 8 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 8 x = 0$

ステップ 5.2

$4 x$ を $4 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

ステップ 5.2.2

$4 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

ステップ 5.2.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 5.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 5.6

最終解は $4 x (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} - 8$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 - 8$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$0 - 8$

ステップ 9.2

$0$ から $8$ を引きます。

$- 8$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 11.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

ステップ 11.2.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$x = \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

ステップ 13.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

ステップ 13.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

ステップ 13.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

ステップ 13.1.1.4.2

式を書き換えます。

$12 \cdot 2^{1} - 8$

ステップ 13.1.1.5

指数を求めます。

$12 \cdot 2 - 8$

ステップ 13.1.2

$12$ に $2$ をかけます。

$24 - 8$

ステップ 13.2

$24$ から $8$ を引きます。

$16$

ステップ 14

$x = \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{2}$ は極小値です

ステップ 15

$x = \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

ステップ 15.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

ステップ 15.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 15.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 15.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 15.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 15.2.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

ステップ 15.2.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (\sqrt{2}) = - 3$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 16

$x = - \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

ステップ 17.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

ステップ 17.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

ステップ 17.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

ステップ 17.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

ステップ 17.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

ステップ 17.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

ステップ 17.1.4.4.2

式を書き換えます。

$12 \cdot 2^{1} - 8$

ステップ 17.1.4.5

指数を求めます。

$12 \cdot 2 - 8$

ステップ 17.1.5

$12$ に $2$ をかけます。

$24 - 8$

ステップ 17.2

$24$ から $8$ を引きます。

$16$

ステップ 18

$x = - \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{2}$ は極小値です

ステップ 19

$x = - \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.3

${\sqrt{2}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.4.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.6

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 1$

ステップ 19.2.1.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 1$

ステップ 19.2.1.8

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.9

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

ステップ 19.2.1.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

ステップ 19.2.1.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 19.2.1.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.9.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 19.2.1.9.4.2

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 19.2.1.9.5

指数を求めます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 19.2.1.10

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 1$

ステップ 19.2.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (- \sqrt{2}) = - 3$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 20

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ の極値です。

$(0, 1)$ は極大値です

$(\sqrt{2}, - 3)$ は極小値です

$(- \sqrt{2}, - 3)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例