微分積分例

$f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} + \frac{4}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

ステップ 1.2.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{x^{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 2.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 2.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

ステップ 2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 2.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 2.3.10

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 x^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 2.4.2

$8$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + \frac{4}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 4.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 (- x^{- 2})$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{- 2}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{- 4}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ です。

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 5.3

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.3.1

$4 x^{3} - \frac{4}{x^{2}} = 0$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$4 x^{3} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$4 (x^{2} x^{3}) - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{2 + 3} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$4 x^{5} - \frac{4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$- \frac{4}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$4 x^{5} + \frac{- 4}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$4 x^{5} - 4 = 0 x^{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$4 x^{5} - 4 = 0$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

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ステップ 5.4.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$4 x^{5} = 4$

ステップ 5.4.2

$4 x^{5} = 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$4 x^{5} = 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 5.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{5}}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$x^{5} = \frac{4}{4}$

ステップ 5.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

$4$ を $4$ で割ります。

$x^{5} = 1$

ステップ 5.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{1}$

ステップ 5.4.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{4}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(1)}^{2} + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$12 \cdot 1 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + \frac{8}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$12 + \frac{8}{1}$

ステップ 9.1.4

$8$ を $1$ で割ります。

$12 + 8$

ステップ 9.2

$12$ と $8$ をたし算します。

$20$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{4}{1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 + \frac{4}{1}$

ステップ 11.2.1.2

$4$ を $1$ で割ります。

$f (1) = 1 + 4$

ステップ 11.2.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$f (1) = 5$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$y = 5$

ステップ 12

$f (x) = x^{4} + \frac{4}{x}$ の極値です。

$(1, 5)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例