微分積分例

$f (x) = x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 x + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$2 x + 24 x + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 24 x + 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 24 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.3

$36$ に $1$ をかけます。

$2 x + 24 x + 36 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 24 x + 36 + 0$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2 x$ と $24 x$ をたし算します。

$26 x + 36 + 0$

ステップ 1.5.2

$26 x + 36$ と $0$ をたし算します。

$26 x + 36$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $26 x + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [26 x] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (26 x) + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [26 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$26$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $26 x$ の微分係数は $26 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 26 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 26 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 2.2.3

$26$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 26 + \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 26 + 0$

ステップ 2.3.2

$26$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 26$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$26 x + 36 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 x + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$2 x + 24 x + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 24 x + 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 24 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3.3

$36$ に $1$ をかけます。

$2 x + 24 x + 36 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 24 x + 36 + 0$

ステップ 4.1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$2 x$ と $24 x$ をたし算します。

$26 x + 36 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$26 x + 36$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 26 x + 36$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $26 x + 36$ です。

$26 x + 36$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $26 x + 36 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$26 x + 36 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $36$ を引きます。

$26 x = - 36$

ステップ 5.3

$26 x = - 36$ の各項を $26$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$26 x = - 36$ の各項を $26$ で割ります。

$\frac{26 x}{26} = \frac{- 36}{26}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$26$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{26 x}{26} = \frac{- 36}{26}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 36}{26}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 36$ と $26$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 18)}{26}$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$2$ を $26$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 13}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 13}$

ステップ 5.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 18}{13}$

ステップ 5.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{18}{13}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{18}{13}$

ステップ 8

$x = - \frac{18}{13}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$26$

ステップ 9

$x = - \frac{18}{13}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{18}{13}$ は極小値です

ステップ 10

$x = - \frac{18}{13}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $- \frac{18}{13}$ で置換えます。

$f (- \frac{18}{13}) = {(- \frac{18}{13})}^{2} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{18}{13}$ に当てはめます。

$f (- \frac{18}{13}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{18}{13})}^{2} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.1.2

積の法則を $\frac{18}{13}$ に当てはめます。

$f (- \frac{18}{13}) = {(- 1)}^{2} (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{18}{13}) = 1 (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.3

$\frac{18^{2}}{13^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{18^{2}}{13^{2}} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.4

$18$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{13^{2}} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.5

$13$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.6.1

積の法則を $- \frac{18}{13}$ に当てはめます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{18}{13})}^{2}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.6.2

積の法則を $\frac{18}{13}$ に当てはめます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{18^{2}}{13^{2}})) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (1 (\frac{18^{2}}{13^{2}})) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.8

$\frac{18^{2}}{13^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.9

$18$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{324}{13^{2}}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.10

$13$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{324}{169}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.11

$12 (\frac{324}{169})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.11.1

$12$ と $\frac{324}{169}$ をまとめます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{12 \cdot 324}{169} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.11.2

$12$ に $324$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.12

$36 (- \frac{18}{13})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.12.1

$- 1$ に $36$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} - 36 (\frac{18}{13}) + 3$

ステップ 10.2.1.12.2

$- 36$ と $\frac{18}{13}$ をまとめます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + \frac{- 36 \cdot 18}{13} + 3$

ステップ 10.2.1.12.3

$- 36$ に $18$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + \frac{- 648}{13} + 3$

ステップ 10.2.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} - \frac{648}{13} + 3$

ステップ 10.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{18}{13}) = 3 + \frac{324 + 3888}{169} + \frac{- 648}{13}$

ステップ 10.2.2.2

$324$ と $3888$ をたし算します。

$f (- \frac{18}{13}) = 3 + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

ステップ 10.2.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

$3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3}{1} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

ステップ 10.2.3.2

$\frac{3}{1}$ に $\frac{169}{169}$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3}{1} \cdot \frac{169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

ステップ 10.2.3.3

$\frac{3}{1}$ に $\frac{169}{169}$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

ステップ 10.2.3.4

$\frac{- 648}{13}$ に $\frac{13}{13}$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13} \cdot \frac{13}{13}$

ステップ 10.2.3.5

$\frac{- 648}{13}$ に $\frac{13}{13}$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648 \cdot 13}{13 \cdot 13}$

ステップ 10.2.3.6

$13$ に $13$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648 \cdot 13}{169}$

ステップ 10.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169 + 4212 - 648 \cdot 13}{169}$

ステップ 10.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1

$3$ に $169$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{507 + 4212 - 648 \cdot 13}{169}$

ステップ 10.2.5.2

$- 648$ に $13$ をかけます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{507 + 4212 - 8424}{169}$

ステップ 10.2.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.6.1

$507$ と $4212$ をたし算します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{4719 - 8424}{169}$

ステップ 10.2.6.2

$4719$ から $8424$ を引きます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{- 3705}{169}$

ステップ 10.2.6.3

$- 3705$ と $169$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.6.3.1

$13$ を $- 3705$ で因数分解します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 (- 285)}{169}$

ステップ 10.2.6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.6.3.2.1

$13$ を $169$ で因数分解します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 \cdot - 285}{13 \cdot 13}$

ステップ 10.2.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 \cdot - 285}{13 \cdot 13}$

ステップ 10.2.6.3.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{- 285}{13}$

ステップ 10.2.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{18}{13}) = - \frac{285}{13}$

ステップ 10.2.7

最終的な答えは $- \frac{285}{13}$ です。

$y = - \frac{285}{13}$

ステップ 11

$f (x) = x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$ の極値です。

$(- \frac{18}{13}, - \frac{285}{13})$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例