微分積分例

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[1, 16]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \sqrt[4]{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[4]{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[1, 16]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$16$ および $1$ で $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$16$ を $2^{4}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2.4

$2$ を $5$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2.5

$\frac{4}{5}$ と $32$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2.6

$4$ に $32$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

ステップ 7.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

ステップ 7.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

ステップ 7.2.9

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

ステップ 7.2.10

$128$ から $4$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

ステップ 8

$16$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

ステップ 9

$\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ を掛けます。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{15}$ に $\frac{124}{5}$ をかけます。

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

ステップ 9.2

$15$ に $5$ をかけます。

$A (x) = \frac{124}{75}$

ステップ 10

微分積分 例

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