微分積分例

$y = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 1$

ステップ 1

$y = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 1$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 1$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 16 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 16 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3

$16$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 16 x + 16 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 16 x + 16 + 0$

ステップ 2.4.2

$3 x^{2} - 16 x + 16$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 16 x + 16$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{2} - 16 x + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 3.3.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

ステップ 3.4.2

$6 x - 16$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 16$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 16 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 16 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$16$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 16 x + 16 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 16 x + 16 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$3 x^{2} - 16 x + 16$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 16 x + 16$ です。

$3 x^{2} - 16 x + 16$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

ステップ 6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ で和が $b = - 16$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 16$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$- 16$ を $- 4$ プラス $- 12$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16 = 0$

ステップ 6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16 = 0$

ステップ 6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16 = 0$

ステップ 6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4) = 0$

ステップ 6.2.3

最大公約数 $3 x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 4) (x - 4) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 6.4

$3 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$3 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 4 = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $3 x - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 x = 4$

ステップ 6.4.2.2

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 6.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 6.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 6.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 6.6

最終解は $(3 x - 4) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{4}{3}, 4$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = \frac{4}{3}, 4$

ステップ 9

$x = \frac{4}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\frac{4}{3}) - 16$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{4}{3} - 16$

ステップ 10.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{4}{3} - 16$

ステップ 10.1.1.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 4 - 16$

ステップ 10.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$8 - 16$

ステップ 10.2

$8$ から $16$ を引きます。

$- 8$

ステップ 11

$x = \frac{4}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{4}{3}$ は極大値です

ステップ 12

$x = \frac{4}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\frac{4}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{4}{3}) = {(\frac{4}{3})}^{3} - 8 {(\frac{4}{3})}^{2} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{4^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{4}{3})}^{2} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.2

$4$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{3^{3}} - 8 {(\frac{4}{3})}^{2} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - 8 {(\frac{4}{3})}^{2} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.4

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - 8 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - 8 \frac{16}{3^{2}} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - 8 (\frac{16}{9}) + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.7

$- 8 (\frac{16}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.7.1

$- 8$ と $\frac{16}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{- 8 \cdot 16}{9} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.7.2

$- 8$ に $16$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{- 128}{9} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128}{9} + 16 (\frac{4}{3}) + 1$

ステップ 12.2.1.9

$16 (\frac{4}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.9.1

$16$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128}{9} + \frac{16 \cdot 4}{3} + 1$

ステップ 12.2.1.9.2

$16$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128}{9} + \frac{64}{3} + 1$

ステップ 12.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$\frac{128}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - (\frac{128}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{64}{3} + 1$

ステップ 12.2.2.2

$\frac{128}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} + 1$

ステップ 12.2.2.3

$\frac{64}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} \cdot \frac{9}{9} + 1$

ステップ 12.2.2.4

$\frac{64}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

ステップ 12.2.2.5

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

ステップ 12.2.2.6

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 12.2.2.7

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 12.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 12.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

ステップ 12.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64}{27} - \frac{128 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

ステップ 12.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 - 128 \cdot 3 + 64 \cdot 9 + 27}{27}$

ステップ 12.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1

$- 128$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 - 384 + 64 \cdot 9 + 27}{27}$

ステップ 12.2.4.2

$64$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{64 - 384 + 576 + 27}{27}$

ステップ 12.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

$64$ から $384$ を引きます。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 320 + 576 + 27}{27}$

ステップ 12.2.5.2

$- 320$ と $576$ をたし算します。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{256 + 27}{27}$

ステップ 12.2.5.3

$256$ と $27$ をたし算します。

$f (\frac{4}{3}) = \frac{283}{27}$

ステップ 12.2.6

最終的な答えは $\frac{283}{27}$ です。

$y = \frac{283}{27}$

ステップ 13

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (4) - 16$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$6$ に $4$ をかけます。

$24 - 16$

ステップ 14.2

$24$ から $16$ を引きます。

$8$

ステップ 15

$x = 4$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 4$ は極小値です

ステップ 16

$x = 4$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = {(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} + 16 (4) + 1$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$f (4) = 64 - 8 {(4)}^{2} + 16 (4) + 1$

ステップ 16.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = 64 - 8 \cdot 16 + 16 (4) + 1$

ステップ 16.2.1.3

$- 8$ に $16$ をかけます。

$f (4) = 64 - 128 + 16 (4) + 1$

ステップ 16.2.1.4

$16$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 64 - 128 + 64 + 1$

ステップ 16.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$64$ から $128$ を引きます。

$f (4) = - 64 + 64 + 1$

ステップ 16.2.2.2

$- 64$ と $64$ をたし算します。

$f (4) = 0 + 1$

ステップ 16.2.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (4) = 1$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 17

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 1$ の極値です。

$(\frac{4}{3}, \frac{283}{27})$ は極大値です

$(4, 1)$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例