微分積分例

$x + \sqrt{1 - x}$

ステップ 1

$x + \sqrt{1 - x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x + \sqrt{1 - x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x}$ を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.2.3

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.9

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 2.2.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

ステップ 2.2.13

$0$ から $1$ を引きます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

ステップ 2.2.14

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.2.15

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

ステップ 2.2.16

$- 1$ を ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.2.17

$- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.2.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2.19

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 3.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3.2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - x$ とします。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x)))$

ステップ 3.2.4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

ステップ 3.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)))))$

ステップ 3.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x)))))$

ステップ 3.2.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x))))$

ステップ 3.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.9

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.9.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.9.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.12

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.13

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.14

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

ステップ 3.2.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))))$

ステップ 3.2.16

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1))$

ステップ 3.2.17

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1))$

ステップ 3.2.18

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2})$

ステップ 3.2.19

$- 1$ を ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 3.2.20

$- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 3.2.21

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3.2.22

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

ステップ 3.2.23

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (1 {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

ステップ 3.2.24

${(1 - x)}^{- 1}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

ステップ 3.2.25

${(1 - x)}^{- 1}$ と $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 - x)}^{- 1}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2.26

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- 1}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

ステップ 3.2.27

指数を足して ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に $1 - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.27.1

$1 - x$ を移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 3.2.27.2

$1 - x$ に ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.27.2.1

$1 - x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 3.2.27.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2.27.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2.27.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 3.2.27.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.2.28

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.2.29

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.3

$0$ から $\frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x + \sqrt{1 - x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x}$ を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 5.1.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 5.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 5.1.2.3

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 5.1.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 5.1.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

ステップ 5.1.2.13

$0$ から $1$ を引きます。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

ステップ 5.1.2.14

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

ステップ 5.1.2.15

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

ステップ 5.1.2.16

$- 1$ を ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5.1.2.17

$- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5.1.2.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.2.19

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

ステップ 6.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}, 1$

ステップ 6.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ の各項に $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ の各項に $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

方程式を $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ として書き換えます。

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

ステップ 6.5.2

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.5.2.2.2

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.5.3

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.5.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1.1

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.5.4.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - x)}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.5.4.1.1.2

簡約します。

$1 - x = {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 6.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1

${(\frac{1}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$1 - x = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 6.5.4.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - x = \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 6.5.4.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$1 - x = \frac{1}{4}$

ステップ 6.5.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = \frac{1}{4} - 1$

ステップ 6.5.5.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- x = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.5.5.1.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- x = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.5.5.1.4

公分母の分子をまとめます。

$- x = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 6.5.5.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- x = \frac{1 - 4}{4}$

ステップ 6.5.5.1.5.2

$1$ から $4$ を引きます。

$- x = \frac{- 3}{4}$

ステップ 6.5.5.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$- x = - \frac{3}{4}$

ステップ 6.5.5.2

$- x = - \frac{3}{4}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.1

$- x = - \frac{3}{4}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

ステップ 6.5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

ステップ 6.5.5.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

ステップ 6.5.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

ステップ 6.5.5.2.3.2

$\frac{3}{4}$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{{(1 - x)}^{1}}}$

ステップ 7.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{1 - x} = 0$

ステップ 7.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{1 - x})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x}$ を ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.3

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(1 - x)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (1 - x) = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 1 + 4 (- x) = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.6.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 (- x) = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.6.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$4 - 4 x = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 - 4 x = 0$

ステップ 7.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 4 x = - 4$

ステップ 7.3.3.2

$- 4 x = - 4$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

$- 4 x = - 4$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 7.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 7.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 7.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.3.1

$- 4$ を $- 4$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 7.4

$\sqrt{1 - x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - x < 0$

ステップ 7.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$- x < - 1$

ステップ 7.5.2

$- x < - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

$- x < - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.5.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x > \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x > 1$

ステップ 7.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = \frac{3}{4}, 1$

ステップ 9

$x = \frac{3}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{1}{4 {(1 - (\frac{3}{4}))}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{4 {(\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{4 {(\frac{4 - 3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.3

$4$ から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.4

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 10.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{4 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 10.1.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 10.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

ステップ 10.1.6.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.6.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

ステップ 10.1.6.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{3}}}$

ステップ 10.1.6.4

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

ステップ 10.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$4$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

ステップ 10.2.2

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 10.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

ステップ 10.2.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 10.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 \cdot 2)$

ステップ 10.4

$- (1 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- 1 \cdot 2$

ステップ 10.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2$

ステップ 11

$x = \frac{3}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3}{4}$ は極大値です

ステップ 12

$x = \frac{3}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4}) + \sqrt{1 - (\frac{3}{4})}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

ステップ 12.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4 - 3}{4}}$

ステップ 12.2.1.3

$4$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 12.2.1.4

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 12.2.1.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 12.2.1.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 12.2.1.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

ステップ 12.2.2

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 12.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 + 2}{4}$

ステップ 12.2.5

$3$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}$

ステップ 12.2.6

最終的な答えは $\frac{5}{4}$ です。

$y = \frac{5}{4}$

ステップ 13

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{1}{4 {(1 - (1))}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.1.2

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.1.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 14.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 14.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 14.3

式を簡約します。

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ステップ 14.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

ステップ 14.3.2

$4$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{0}$

ステップ 14.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{1}{0}$

ステップ 14.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 15

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例