微分積分例

$P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- (x - 4) e^{x} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x - 4) e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- ((x - 4) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.4

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.6

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.8

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$- (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$- (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

ステップ 1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$- x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

ステップ 1.4.3.2

$4 e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$- x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

ステップ 1.4.3.3

$- x e^{x} + 3 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 1.4.4

項を並べ替えます。

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

ステップ 1.4.5

$- e^{x} x + 3 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- x e^{x} + 3 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ です。

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$P'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$P'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 2.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 2.2.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$P'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 2.4.2

$- e^{x}$ と $3 e^{x}$ をたし算します。

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$P'' (x) = - e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 2.4.4

$- e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $- (x - 4) e^{x} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x - 4) e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} ((x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.2.2

$f' (x) = - ((x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.2.4

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.2.6

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.2.8

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 4.1.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

ステップ 4.1.4.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

ステップ 4.1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

ステップ 4.1.4.3.2

$4 e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

ステップ 4.1.4.3.3

$- x e^{x} + 3 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 4.1.4.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - e^{x} x + 3 e^{x}$

ステップ 4.1.4.5

$- e^{x} x + 3 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $P (x)$ の一次導関数は $- x e^{x} + 3 e^{x}$ です。

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

ステップ 5.2

$e^{x}$ を $- x e^{x} + 3 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$e^{x}$ を $- x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

ステップ 5.2.2

$e^{x}$ を $3 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

ステップ 5.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ で因数分解します。

$e^{x} (- x + 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

ステップ 5.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

$- x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$- x + 3 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $- x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x = - 3$

ステップ 5.5.2.2

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 5.6

最終解は $e^{x} (- x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 3$

ステップ 8

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 3 e^{3} + 2 e^{3}$

ステップ 9

$- 3 e^{3}$ と $2 e^{3}$ をたし算します。

$- e^{3}$

ステップ 10

$x = 3$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極大値です

ステップ 11

$x = 3$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$P (3) = - ((3) - 4) \cdot e^{3} - 4$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$3$ から $4$ を引きます。

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

ステップ 11.2.1.3

$e^{3}$ に $1$ をかけます。

$P (3) = e^{3} - 4$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $e^{3} - 4$ です。

$y = e^{3} - 4$

ステップ 12

$P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$ の極値です。

$(3, e^{3} - 4)$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例