微分積分例

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.1.2

${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ を $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ に書き換えます。

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

ステップ 2.1.2.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ を展開します。

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.2.1

$x$ を移動させます。

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.8

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.10

指数を足して $h$ に $h$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.10.1

$h$ を移動させます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.10.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.11

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.12

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.3.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

ステップ 2.1.2.4

$4 x h$ と $4 h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

ステップ 2.1.2.4.2

$4 h x$ と $4 h x$ をたし算します。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

ステップ 2.1.2.5

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

ステップ 2.1.2.6

$- 2 h$ から $2 h$ を引きます。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

ステップ 2.1.2.7

最終的な答えは $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ です。

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

ステップ 2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4 x^{2}$ を移動させます。

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

ステップ 2.2.2

$8 h x$ と $4 h^{2}$ を並べ替えます。

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

ステップ 4.1.3

$4 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

ステップ 4.1.4

$4 h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

ステップ 4.1.5

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

ステップ 4.1.6

$4 h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

ステップ 4.1.7

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

ステップ 4.1.8

$4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.9

$4 h$ を $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.1

$4 h$ を $4 h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.9.2

$4 h$ を $8 h x$ で因数分解します。

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.9.3

$4 h$ を $- 4 h$ で因数分解します。

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

ステップ 4.1.9.4

$4 h$ を $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

ステップ 4.1.9.5

$4 h$ を $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$4 (h + 2 x - 1)$ を $1$ で割ります。

$4 (h + 2 x - 1)$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ に $4$ をかけます。

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

ステップ 4.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 h + 8 x - 4$

ステップ 4.4

$4 h$ と $8 x$ を並べ替えます。

$8 x + 4 h - 4$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例