微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{2}}{5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.3.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6 x^{3}}$

ステップ 1.1.3.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 6 lim_{x \to 0} x^{3}}$

ステップ 1.1.3.4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 6 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 6 \cdot 0^{3}}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 + 6 \cdot 0}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.1.3.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{2}}{5 x + 6 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $3 x + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 4 x}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.5

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $5 x + 6 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.7.3

$5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.8.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 6 (3 x^{2})}$

ステップ 1.3.8.3

$3$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 18 x^{2}}$

ステップ 1.3.9

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{18 x^{2} + 5}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

ステップ 2.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

ステップ 2.6

$18$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

ステップ 2.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

ステップ 2.8

$x$ が $0$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 0 + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 0 + 3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 4.1.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3}{18 \cdot 0 + 5}$

ステップ 4.2.2

$18$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{0 + 5}$

ステップ 4.2.3

$0$ と $5$ をたし算します。

$\frac{3}{5}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{5}$

10進法形式：

$0.6$

微分積分 例

微分積分例