微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.4.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.8.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - 1}$

ステップ 1.3.9

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.6

因数をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$\frac{1}{- 1}$ に $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- (2 \sqrt{x})}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 2 \sqrt{x}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{- 2 \sqrt{x}}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{- 2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{- 2} lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

ステップ 2.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 4.2

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 4.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 4.4

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.5

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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