微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{4 x}{5 - \sqrt{x + 25}}$

ステップ 1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{x}{5 - \sqrt{x + 25}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$4 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 5 - \sqrt{x + 25}}$

ステップ 2.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 5 - \sqrt{x + 25}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{5 - lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}}$

ステップ 2.1.3.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}}$

ステップ 2.1.3.1.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 25}}$

ステップ 2.1.3.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{0 + 25}}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.3.3.1.1

$0$ と $25$ をたし算します。

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{25}}$

ステップ 2.1.3.3.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{5^{2}}}$

ステップ 2.1.3.3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

ステップ 2.1.3.3.1.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$4 \frac{0}{5 - 5}$

ステップ 2.1.3.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$4 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{5 - \sqrt{x + 25}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $5 - \sqrt{x + 25}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]}$

ステップ 2.3.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 25}$ を ${(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 2.3.5.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 2.3.5.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.5.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 25$ とします。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 25]}$

ステップ 2.3.5.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25]}$

ステップ 2.3.5.3.3

$u$ のすべての発生を $x + 25$ で置き換えます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25]}$

ステップ 2.3.5.4

総和則では、 $x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}$

ステップ 2.3.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [25])}$

ステップ 2.3.5.6

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}$

ステップ 2.3.5.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}$

ステップ 2.3.5.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

ステップ 2.3.5.9

公分母の分子をまとめます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

ステップ 2.3.5.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.5.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}$

ステップ 2.3.5.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}$

ステップ 2.3.5.11

分数の前に負数を移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}$

ステップ 2.3.5.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.13

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}$

ステップ 2.3.5.14

$\frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 2.3.5.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.6

$0$ から $\frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.5

${(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x + 25}$ に書き換えます。

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 1 \cdot 2 \sqrt{x + 25}$

ステップ 2.6

因数をまとめます。

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ステップ 2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 2 \sqrt{x + 25}$

ステップ 2.6.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$4 lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{x + 25}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \cdot - 2 lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}$

ステップ 3.2

根号の下に極限を移動させます。

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 25}$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \cdot - 2 \sqrt{0 + 25}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 \sqrt{0 + 25}$

ステップ 5.2

$0$ と $25$ をたし算します。

$- 8 \sqrt{25}$

ステップ 5.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- 8 \sqrt{5^{2}}$

ステップ 5.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- 8 \cdot 5$

ステップ 5.5

$- 8$ に $5$ をかけます。

$- 40$

微分積分 例

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