微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0 \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.4

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 1 - \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- - \sin (x)) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 \sin (x)) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.9

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.11

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.14

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.15.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.15.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.15.2.1

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.15.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.15.2.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.15.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.15.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{2 x}$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sin^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (0) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.7.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.8.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5

$\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos^{2} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.6.2

$2 \cos (x) \sin (x)$ と $2 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{1}$

ステップ 3.4

$4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

ステップ 4.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

ステップ 4.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

ステップ 4.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

ステップ 4.6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

ステップ 6.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (4 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

ステップ 6.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0 - \sin (0))$

ステップ 6.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0 - \sin (0))$

ステップ 6.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (0 - 0)$

ステップ 6.1.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0 + 0)$

ステップ 6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例