微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} + 2 x - 24}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} + 2 x - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $4$ に近づくと定数である $24$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{2} + 2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4^{2} + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 + 8 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$- 1$ に $24$ をかけます。

$\frac{16 + 8 - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.6.2

$16$ と $8$ をたし算します。

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.2.6.3

$24$ から $24$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $4$ に近づくと定数である $16$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\frac{0}{16 - 16}$

ステップ 1.1.3.3.2

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} + 2 x - 24}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 24$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 24]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3.5

$- 24$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 24$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3.6

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

ステップ 1.3.9

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + 2}{2 x}$

ステップ 1.4

$2 x + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) + 2}{2 x}$

ステップ 1.4.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 x}$

ステップ 1.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 x}$

ステップ 1.4.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 (x)}$

ステップ 1.4.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{2 (x + 1)}{2 x}$

ステップ 1.4.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{x + 1}{x}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} x}$

ステップ 2.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x}$

ステップ 2.3

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 + 1}{lim_{x \to 4} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 + 1}{4}$

ステップ 4

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{4}$

10進法形式：

$1.25$

微分積分 例

微分積分例