微分積分例

$2 \ln (\sec (x))$

ステップ 1

漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

任意の $y = \sec (x)$ について、垂直漸近線が $x = \frac{π}{2} + n π$ で発生します。ここで $n$ は整数です。 $y = s e c (x)$ の基本周期 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ を使って、 $y = \ln (\sec^{2} (x))$ の垂直漸近線を求めます。 $y = a \sec (b x + c) + d$ の正割関数の内側 $b x + c$ を $- \frac{π}{2}$ と等しくし、 $y = \ln (\sec^{2} (x))$ の垂直漸近線が発生する場所を求めます。

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

ステップ 1.2.2

$\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

ステップ 1.2.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

ステップ 1.2.2.3

$\sqrt{\frac{π}{2}}$ を $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.2.2.4

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 1.2.2.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.5.1

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.2.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 1.2.2.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 1.2.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.2.2.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.2.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.2.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.2.5.6.4.2

式を書き換えます。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 1.2.2.5.6.5

指数を求めます。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.2.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

ステップ 1.2.2.7

$i$ と $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ をまとめます。

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

ステップ 1.2.2.8

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 1.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 1.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 1.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 1.2.4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 1.2.5

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

ステップ 1.2.5.2

The inverse secant of $arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

未定義

ステップ 1.2.6

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

ステップ 1.2.6.2

The inverse secant of $arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

未定義

ステップ 1.2.7

すべての解をまとめます。

解がありません

ステップ 1.3

正割関数 $\sec^{2} (x)$ の中を $\frac{3 π}{2}$ と等しくします。

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

ステップ 1.4.2

$\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ を $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.4.2.2

$\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.4.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.3.1

$\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.2.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 1.4.2.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 1.4.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.4.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.4.2.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.4.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.4.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 1.4.2.3.6.5

指数を求めます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

ステップ 1.4.2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 1.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 1.4.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 1.4.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 1.4.4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 1.4.5

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

ステップ 1.4.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.2.1

$arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ の値を求めます。

$x = 1.09205895$

ステップ 1.4.5.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

ステップ 1.4.5.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

ステップ 1.4.5.4.2

$2 (3.14159265) - 1.09205895$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

ステップ 1.4.5.4.2.2

$6.2831853$ から $1.09205895$ を引きます。

$x = 5.19112635$

ステップ 1.4.5.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.4.5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.4.5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.4.5.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.4.5.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.4.6

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

ステップ 1.4.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.2.1

$arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ の値を求めます。

$x = 2.0495337$

ステップ 1.4.6.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

ステップ 1.4.6.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.4.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

ステップ 1.4.6.4.2

$2 (3.14159265) - 2.0495337$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

ステップ 1.4.6.4.2.2

$6.2831853$ から $2.0495337$ を引きます。

$x = 4.2336516$

ステップ 1.4.6.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.4.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.4.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.4.6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.4.6.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.4.7

すべての解をまとめます。

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.4.8

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.8.1

$4.2336516 + 2 π n$ と $1.09205895 + π n$ を $1.09205895 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.4.8.2

$2.0495337 + 2 π n$ と $2.0495337 + π n$ を $5.19112635 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.5

$y = \ln (\sec^{2} (x))$ の基本周期は $(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ で発生し、ここでと $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ は垂直漸近線です。

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

ステップ 1.6

周期 $\frac{2 π}{| b |}$ を求め、垂直漸近線が存在する場所を求めます。垂直漸近線は半周期ごとに発生します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.6.2

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.7

$y = \ln (\sec^{2} (x))$ の垂直漸近線は、 $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ 、およびすべての $π n$ で発生し、ここで $n$ は整数です。これは期間の半分です。

$π n$

ステップ 1.8

正割関数と余割関数の垂直漸近線のみがあります。

垂直漸近線：任意の整数 $n$ について $x = π n$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線：任意の整数 $n$ について $x = π n$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sec (1)$ の値を求めます。

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

ステップ 2.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (1.85081571)$ を簡約します。

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

ステップ 2.2.3

$1.85081571$ を $2$ 乗します。

$f (1) = \ln (3.42551882)$

ステップ 2.2.4

最終的な答えは $\ln (3.42551882)$ です。

$\ln (3.42551882)$

ステップ 3

$x = 5$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\sec (5)$ の値を求めます。

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

ステップ 3.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (3.52532008)$ を簡約します。

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

ステップ 3.2.3

$3.52532008$ を $2$ 乗します。

$f (5) = \ln (12.4278817)$

ステップ 3.2.4

最終的な答えは $\ln (12.4278817)$ です。

$\ln (12.4278817)$

ステップ 4

$x = 6$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sec (6)$ の値を求めます。

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

ステップ 4.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (1.04148192)$ を簡約します。

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

ステップ 4.2.3

$1.04148192$ を $2$ 乗します。

$f (6) = \ln (1.0846846)$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $\ln (1.0846846)$ です。

$\ln (1.0846846)$

ステップ 5

対数関数は、 $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ における垂直漸近線と点 $(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例