微分積分例

$f (x) = \sqrt{3 x - 5}$ , $h (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ , $(f \circ h)$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$f (h (x))$

ステップ 2

$f$ に $h$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{1 + x^{2}})$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{3 (\frac{x}{1 + x^{2}}) - 5}$

ステップ 3

$3$ と $\frac{x}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} - 5}$

ステップ 4

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} - 5 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}$

ステップ 5

$- 5$ と $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} + \frac{- 5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}$

ステップ 8

因数分解した形で $\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 \cdot 1 - 5 x^{2}}{x^{2} + 1}}$

ステップ 8.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 - 5 x^{2}}{x^{2} + 1}}$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{- 5 x^{2} + 3 x - 5}{x^{2} + 1}}$

ステップ 9

$\sqrt{\frac{- 5 x^{2} + 3 x - 5}{x^{2} + 1}}$ を $\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ に書き換えます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 10

$\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ をかけます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 11

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ をかけます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 11.2

$\sqrt{x^{2} + 1}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 11.3

$\sqrt{x^{2} + 1}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 11.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 11.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 11.6

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ を $x^{2} + 1$ に書き換えます。

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ステップ 11.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 11.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 11.6.5

簡約します。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

ステップ 12

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{(- 5 x^{2} + 3 x - 5) (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

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