微分積分例

$(3 x - 3) (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = 3 x - 3$ および $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(3 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 1] + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{3} - x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(3 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$(3 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x - 3) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.4

$3$ に $5$ をかけます。

$(3 x - 3) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.9

$15 x^{2} - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 3]$

ステップ 2.10

総和則では、 $3 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.11

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.13

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.14

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + 0)$

ステップ 2.15

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 3$

ステップ 2.15.2

$3$ を $5 x^{3} - x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + 3 \cdot (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(3 x - 3) (15 x^{2} - 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$(3 x - 3) (15 x^{2}) + (3 x - 3) (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$3 x (15 x^{2}) - 3 (15 x^{2}) + (3 x - 3) (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$3 x (15 x^{2}) - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$15$ に $3$ をかけます。

$45 x \cdot x^{2} - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$45 (x^{2} x) - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$45 (x^{2} x^{1}) - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$45 x^{2 + 1} - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$45 x^{3} - 3 (15 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.3

$15$ に $- 3$ をかけます。

$45 x^{3} - 45 x^{2} + 3 x (- 2 x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 x \cdot x - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.5

$x$ を $1$ 乗します。

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.6

$x$ を $1$ 乗します。

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 x^{2} - 3 (- 2 x) + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.9

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$45 x^{3} - 45 x^{2} - 6 x^{2} + 6 x + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.10

$- 45 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$45 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x + 3 (5 x^{3}) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.11

$5$ に $3$ をかけます。

$45 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x + 15 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.12

$- 1$ に $3$ をかけます。

$45 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x + 15 x^{3} - 3 x^{2} + 3 \cdot 1$

ステップ 3.5.13

$3$ に $1$ をかけます。

$45 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x + 15 x^{3} - 3 x^{2} + 3$

ステップ 3.5.14

$45 x^{3}$ と $15 x^{3}$ をたし算します。

$60 x^{3} - 51 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 3$

ステップ 3.5.15

$- 51 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$60 x^{3} - 54 x^{2} + 6 x + 3$

微分積分 例

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