微分積分例

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{3}{x} + x$ および $g (x) = \frac{3}{x} - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(\frac{3}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} - x] + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{3}{x} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$(\frac{3}{x} + x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{3}{x} + x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{x} + x]$

ステップ 2.9

総和則では、 $\frac{3}{x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.10

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.11

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.12

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.13

$- 1$ に $3$ をかけます。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 x^{- 2} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 x^{- 2} + 1)$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(\frac{3}{x} + x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

ステップ 3.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$(\frac{3}{x} + x) (\frac{- 3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

ステップ 3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- 3 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

ステップ 3.3.3

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (\frac{- 3}{x^{2}} + 1)$

ステップ 3.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$(\frac{3}{x} + x) (- \frac{3}{x^{2}} - 1) + (\frac{3}{x} - x) (- \frac{3}{x^{2}} + 1)$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- \frac{3}{x^{2}} - 1) (\frac{3}{x} + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} + x) - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.1.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 (\frac{3}{x} + x) + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.1

$\frac{3}{x}$ に $\frac{3}{x^{2}}$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.1.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.3.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

$- \frac{3}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.2.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} x - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - 1 \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.4

$- 1 \frac{3}{x}$ を $- \frac{3}{x}$ に書き換えます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - 1 x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.1.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x} - \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.2.2

$- \frac{3}{x}$ から $\frac{3}{x}$ を引きます。

$- \frac{9}{x^{3}} - 2 \frac{3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$- 2 \frac{3}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1

$- 2$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 3}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.3.1.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x + (- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- \frac{3}{x^{2}} + 1) (\frac{3}{x} - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} (\frac{3}{x} - x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.4.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{3}{x} - x)$

ステップ 3.5.4.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1.1

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1.1.1

$\frac{3}{x}$ に $\frac{3}{x^{2}}$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{3 \cdot 3}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x \cdot x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.1.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1.1.3.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1.1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{1 + 2}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} - \frac{3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1.2.1

$- \frac{3}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.2.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.2.3

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.2.4

共通因数を約分します。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.2.5

式を書き換えます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.3

$\frac{- 3}{x}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 3 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + 1 \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.5

$\frac{3}{x}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} + 1 (- x)$

ステップ 3.5.5.1.6

$- x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x} - x$

ステップ 3.5.5.2

$\frac{3}{x}$ と $\frac{3}{x}$ をたし算します。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + 2 \frac{3}{x} - x$

ステップ 3.5.6

$2 \frac{3}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1

$2$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 3}{x} - x$

ステップ 3.5.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$

ステップ 3.6

$- \frac{9}{x^{3}} - \frac{6}{x} - x - \frac{9}{x^{3}} + \frac{6}{x} - x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- \frac{6}{x}$ と $\frac{6}{x}$ をたし算します。

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} + 0 - x$

ステップ 3.6.2

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{9}{x^{3}} - x - \frac{9}{x^{3}} - x$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$- x - x + \frac{- 9 - 9}{x^{3}}$

ステップ 3.8

$- 9$ から $9$ を引きます。

$- x - x + \frac{- 18}{x^{3}}$

ステップ 3.9

分数の前に負数を移動させます。

$- x - x - \frac{18}{x^{3}}$

ステップ 3.10

$- x$ から $x$ を引きます。

$- 2 x - \frac{18}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例