微分積分例

$\ln (\cos (w - 1))$

ステップ 1

$f (w) = \ln (w)$ および $g (w) = \cos (w - 1)$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (w - 1)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (w - 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos (w - 1)} \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

ステップ 2

$\frac{1}{\cos (w - 1)}$ を $\sec (w - 1)$ に変換します。

$\sec (w - 1) \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

ステップ 3

$f (w) = \cos (w)$ および $g (w) = w - 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $w - 1$ とします。

$\sec (w - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d w} [w - 1])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\sec (w - 1) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d w} [w - 1])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $w - 1$ で置き換えます。

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) \frac{d}{d w} [w - 1])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $w - 1$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 1]$ です。

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (1 + \frac{d}{d w} [- 1]))$

ステップ 4.3

$- 1$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (1 + 0))$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) \cdot 1)$

ステップ 4.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1))$ の因数を並べ替えます。

$- \sec (w - 1) \sin (w - 1)$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\sec (w - 1)$ を書き換えます。

$- \frac{1}{\cos (w - 1)} \sin (w - 1)$

ステップ 5.3

$\sin (w - 1)$ と $\frac{1}{\cos (w - 1)}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (w - 1)}{\cos (w - 1)}$

ステップ 5.4

$\frac{\sin (w - 1)}{\cos (w - 1)}$ を $\tan (w - 1)$ に変換します。

$- \tan (w - 1)$

微分積分 例

微分積分例