微分積分例

$\ln (t + 1) - 0.5 t$

ステップ 1

総和則では、 $\ln (t + 1) - 0.5 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ です。

$\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = t + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $t + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 2.2

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 2.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{t + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{t + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 2.6

$\frac{1}{t + 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{t + 1} + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 0.5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 0.5 t$ の微分係数は $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot 1$

ステップ 3.3

$- 0.5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{t + 1} - 0.5$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$- 0.5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t + 1}{t + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

ステップ 4.2

$- 0.5$ と $\frac{t + 1}{t + 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{t + 1} + \frac{- 0.5 (t + 1)}{t + 1}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 0.5 (t + 1)}{t + 1}$

微分積分 例

微分積分例