微分積分例

$g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2} (3 t^{2})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$3$ を ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

ステップ 1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

ステップ 2

$f (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2}$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

ステップ 3.2

$2$ を ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$3 (2 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

ステップ 4

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = 2 t^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t^{2} - 1$ とします。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $2 t^{2} - 1$ で置き換えます。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $2 t^{2} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

ステップ 5.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

ステップ 5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1])))$

ステップ 5.4

$2$ に $2$ をかけます。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + \frac{d}{d t} [- 1])))$

ステップ 5.5

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + 0)))$

ステップ 5.6

式を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$4 t$ と $0$ をたし算します。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t)))$

ステップ 5.6.2

$4$ に $2$ をかけます。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (8 (2 t^{2} - 1) t))$

ステップ 6

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$t$ を移動させます。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t \cdot t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

ステップ 6.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

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ステップ 6.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1} t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

ステップ 6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1 + 2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

ステップ 6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2} - 1)))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2}) + 8 \cdot - 1))$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2})) + t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.4

項をまとめます。

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ステップ 7.4.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.4.2

$2$ に $8$ をかけます。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{3} (16 t^{2})) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.4.3

指数を足して $t^{3}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.1

$t^{2}$ を移動させます。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.4.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.4.3.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.4.4

$16$ を $t^{5}$ の左に移動させます。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (16 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.4.5

$16$ に $3$ をかけます。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

ステップ 7.4.6

$8$ に $- 1$ をかけます。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 8)$

ステップ 7.4.7

$- 8$ を $t^{3}$ の左に移動させます。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (- 8 \cdot t^{3})$

ステップ 7.4.8

$- 8$ に $3$ をかけます。

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} - 24 t^{3}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t {(2 t^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 7.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ を $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ に書き換えます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t ((2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1))$

ステップ 7.6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1

分配則を当てはめます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1))$

ステップ 7.6.2.2

分配則を当てはめます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1))$

ステップ 7.6.2.3

分配則を当てはめます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

ステップ 7.6.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

ステップ 7.6.3.1.2

指数を足して $t^{2}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.3.1.2.1

$t^{2}$ を移動させます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

ステップ 7.6.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

ステップ 7.6.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

ステップ 7.6.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

ステップ 7.6.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

ステップ 7.6.3.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 7.6.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1)$

ステップ 7.6.3.2

$- 2 t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 4 t^{2} + 1)$

ステップ 7.6.4

分配則を当てはめます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4}) + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

ステップ 7.6.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

ステップ 7.6.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 1$

ステップ 7.6.5.3

$6$ に $1$ をかけます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

ステップ 7.6.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.6.1

指数を足して $t$ に $t^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.6.1.1

$t^{4}$ を移動させます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

ステップ 7.6.6.1.2

$t^{4}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.6.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

ステップ 7.6.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

ステップ 7.6.6.1.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

ステップ 7.6.6.2

$6$ に $4$ をかけます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

ステップ 7.6.6.3

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.6.3.1

$t^{2}$ を移動させます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t) + 6 t$

ステップ 7.6.6.3.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.6.3.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t^{1}) + 6 t$

ステップ 7.6.6.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{2 + 1} + 6 t$

ステップ 7.6.6.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{3} + 6 t$

ステップ 7.6.6.4

$6$ に $- 4$ をかけます。

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t$

ステップ 7.7

$48 t^{5}$ と $24 t^{5}$ をたし算します。

$72 t^{5} - 24 t^{3} - 24 t^{3} + 6 t$

ステップ 7.8

$- 24 t^{3}$ から $24 t^{3}$ を引きます。

$72 t^{5} - 48 t^{3} + 6 t$

微分積分 例

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