微分積分例

${(5 x)}^{x}$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{x}]$

ステップ 1.2

積の法則を $5 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [5^{x} x^{x}]$

ステップ 2

$f (x) = 5^{x}$ および $g (x) = x^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5^{x} \frac{d}{d x} [x^{x}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 3

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 3.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x \ln (x)$ とします。

$5^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 5

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 6

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 7

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 7.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 7.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 8

$a$ = $5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

ステップ 9.3

$e^{x \ln (x)}$ に $1$ をかけます。

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

ステップ 9.4

項を並べ替えます。

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 5^{x} x^{x} \ln (5)$

微分積分 例

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