微分積分例

$\frac{\arctan (x) - \frac{π}{4}}{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x) - \frac{π}{4}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x) - \frac{π}{4}] - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $\arctan (x) - \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ です。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- \frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + 0) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4})}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$x - 1$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- - \frac{π}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + 1 \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2.2

$\frac{π}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

$- \arctan (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.3

$- \arctan (x)$ と $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} + \frac{- \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) \cdot 1 - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.3

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4

因数分解した形で $- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.4.1

項を再分類します。

$\frac{\frac{- 1 - x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.2

$- 1$ を $- x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.4.2.1

$- x^{2} \arctan (x)$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{- 1 + x - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.2.2

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.2.3

$- 1$ を $- x^{2} \arctan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.2.4

$- 1$ を $- \arctan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.2.5

$- 1$ を $- 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.2.6

$- 1$ を $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.2.7

$- 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ を $- (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.4

$- 1$ を $- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.4.4.1

$x^{2} \arctan (x)$ と $- x$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.4.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.4.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.4.4

$- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ を $- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.1.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.6

$- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.7

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + x^{2}) \cdot 4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$\frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.8.2

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.8.3

$(1 + x^{2}) \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{4 (1 + x^{2})} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(- (x^{2} \arctan (x)) - - x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.2.1

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + 1 x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) \cdot 4 + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.4.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.4.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.4.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.4.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - 4 \arctan (x) + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.5

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π \cdot 1 + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.6

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.10.7

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.11

$- 1$ を $- 4 x^{2} \arctan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.12

$- 1$ を $π x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.13

$- 1$ を $- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.14

$- 1$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.15

$- 1$ を $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.16

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.17

$- 1$ を $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.18

$- 1$ を $π$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.19

$- 1$ を $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.20

$- 1$ を $- 4 \arctan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.21

$- 1$ を $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.22

$- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ を $- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.23

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$ を積として書き換えます。

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ に $\frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}$ をかけます。

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{{(x - 1)}^{2} (4 (1 + x^{2}))}$

ステップ 5.3.3

$4$ を ${(x - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 {(x - 1)}^{2} (1 + x^{2})}$

微分積分 例

微分積分例