微分積分例

$\frac{x}{{(9 x - 4)}^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(9 x - 4)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{({(9 x - 4)}^{3})}^{2}}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${({(9 x - 4)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 2.3

${(9 x - 4)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 9 x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x - 4$ とします。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $9 x - 4$ で置き換えます。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (3 {(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 4.2

${(9 x - 4)}^{2}$ を ${(9 x - 4)}^{3} - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

${(9 x - 4)}^{2}$ を ${(9 x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 4.2.2

${(9 x - 4)}^{2}$ を $- 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])$ で因数分解します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) + {(9 x - 4)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 4.2.3

${(9 x - 4)}^{2}$ を ${(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) + {(9 x - 4)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))$ で因数分解します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{6}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

${(9 x - 4)}^{2}$ を ${(9 x - 4)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{2} {(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{2} {(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 6

総和則では、 $9 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 7

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 9

$9$ に $1$ をかけます。

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 10

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 + 0)}{{(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 11

項を加えて簡約します。

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ステップ 11.1

$9$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9 x - 4 - 3 x \cdot 9}{{(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 11.2

$9$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{9 x - 4 - 27 x}{{(9 x - 4)}^{4}}$

ステップ 11.3

$9 x$ から $27 x$ を引きます。

$\frac{- 18 x - 4}{{(9 x - 4)}^{4}}$

微分積分 例

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