微分積分例

$f (x) = (x^{5} - 3 x) (\frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1

$f (x) = x^{5} - 3 x$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x^{5} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

ステップ 2.3

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 3 x]$

ステップ 2.4

総和則では、 $x^{5} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.6

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3 \cdot 1)$

ステップ 2.8

$- 3$ に $1$ をかけます。

$(x^{5} - 3 x) (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(x^{5} - 3 x) (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$x^{5} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4} - 3)$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$x^{5} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$x^{5} \frac{- 2}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{5} (- \frac{2}{x^{3}}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.3

$x^{5}$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{5} \cdot 2}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.4

$2$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot x^{5}}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.5

$x^{5}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$x^{3}$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3}} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.5.2.1

$1$ を掛けます。

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{x^{3} (2 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 x^{2}}{1} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.5.2.4

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- (2 x^{2}) - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{2} - 3 x (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.7

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- 2 x^{2} - 3 x \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 x^{2} - 3 x (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.9

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 2 x^{2} + 3 x \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.10

$3$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をまとめます。

$- 2 x^{2} + x \frac{3 \cdot 2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.11

$3$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{2} + x \frac{6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.12

$x$ と $\frac{6}{x^{3}}$ をまとめます。

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.13

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 x^{2} + \frac{6 \cdot x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.14

$x$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.14.1

$x$ を $6 x$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.14.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.14.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.14.2.3

式を書き換えます。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.15

$5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.16

$\frac{5}{x^{2}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.17

$x^{4}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.17.1

$x^{2}$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.17.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.17.2.1

$1$ を掛けます。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.17.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.17.2.3

式を書き換えます。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + \frac{5 x^{2}}{1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.17.2.4

$5 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot - 3$

ステップ 3.4.18

$\frac{1}{x^{2}}$ と $- 3$ をまとめます。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} + \frac{- 3}{x^{2}}$

ステップ 3.4.19

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 5 x^{2} - \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 3.4.20

$- 2 x^{2}$ と $5 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} + \frac{6}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 3.4.21

公分母の分子をまとめます。

$3 x^{2} + \frac{6 - 3}{x^{2}}$

ステップ 3.4.22

$6$ から $3$ を引きます。

$3 x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例