微分積分例

$f (t) = \frac{1}{\arctan (3 t)}$

ステップ 1

$\frac{1}{\arctan (3 t)}$ を ${\arctan (3 t)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [{\arctan (3 t)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = \arctan (3 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\arctan (3 t)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\arctan (3 t)$ で置き換えます。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

ステップ 3

$f (t) = \arctan (t)$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 t$ とします。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\arctan (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ です。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ を $3 t$ で因数分解します。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 (t))}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $3 (t)$ に当てはめます。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 3^{2} t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 4.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{1 + 9 t^{2}}$ と ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{{\arctan (3 t)}^{- 2}}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 4.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 4.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.4

分数をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.2

$- 3$ と $\frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \cdot 1$

ステップ 4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{3}{1 {\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

ステップ 5.2

${\arctan (3 t)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

ステップ 5.3

${\arctan (3 t)}^{2}$ を ${\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$1$ を掛けます。

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\arctan (3 t)}^{2}$ を $9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})}$

ステップ 5.3.3

${\arctan (3 t)}^{2}$ を ${\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} (1 + 9 t^{2})}$

微分積分 例

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