微分積分例

$f (t) = \frac{4 t}{4 + \sqrt{t}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = 4 + t^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2

$4 + t^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $4 + t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ をたし算します。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 10

$\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $t$ をまとめます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11

指数を足して $t^{- \frac{1}{2}}$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 11.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 11.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.3

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.4

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 12

$t^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13

$t^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 15

$2$ を $t^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$4 \frac{4 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 16

$2 t^{\frac{1}{2}}$ から $t^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 17

$\frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 18

まとめる。

$4 \frac{2 (4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 19

分配則を当てはめます。

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 20

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 20.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 20.2

式を書き換えます。

$4 \frac{2 \cdot 4 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 21

$2$ に $4$ をかけます。

$4 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 22

$4$ と $\frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 23

$2$ を $4 (8 + t^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 24

共通因数を約分します。

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ステップ 24.1

$2$ を $2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 24.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 24.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 25

簡約します。

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ステップ 25.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 8 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 25.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{16 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 25.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

ステップ 25.4

$2$ を $2 t^{\frac{1}{2}} + 16$ で因数分解します。

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ステップ 25.4.1

$2$ を $2 t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}}) + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

ステップ 25.4.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

ステップ 25.4.3

$2$ を $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8$ で因数分解します。

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} + 8)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

微分積分 例

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