微分積分例

$f (x) = 4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2} \sin (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x^{2} \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

ステップ 4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

ステップ 6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x)) + \tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (x^{2} \cos (x))) + 4 (\tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

ステップ 7.3

$2$ に $4$ をかけます。

$4 x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) x^{2} \cos (x) + 8 \tan (x) \sin (x) x$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$4 x^{2} \sec^{2} (x) \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$4 x^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$4 x^{2} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.4

$4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.4.1

$4$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.4.2

$x^{2}$ と $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.5

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot x^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.6

$\frac{4 x^{2}}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.7

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.7.1

括弧を付けます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\cos (x) \tan (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.7.2

$\cos (x)$ と $\tan (x)$ を並べ替えます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\tan (x) \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.7.3

正弦と余弦に関して $4 x^{2} \cos (x) \tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.7.4

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

ステップ 7.5.8

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.5.9

$8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.9.1

$8$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + x \sin (x) \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.5.9.2

$\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)} \sin (x)$

ステップ 7.5.9.3

$\frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.5.9.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

ステップ 7.5.9.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

ステップ 7.5.9.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

ステップ 7.5.9.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6

各項を簡約します。

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ステップ 7.6.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.2

分数を分解します。

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.4

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.5

分数を分解します。

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.6

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.7

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{4 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.8

簡約します。

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ステップ 7.6.8.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.8.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.9

$4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.10

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.11

分数を分解します。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 7.6.12

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \tan (x)$

ステップ 7.6.13

$8 x (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$

ステップ 7.7

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$ の因数を並べ替えます。

$4 x^{2} \tan (x) \sec (x) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$

微分積分 例

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