微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

ステップ 2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

ステップ 3

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

ステップ 4

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

ステップ 5

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

ステップ 6

余割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

ステップ 7

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

ステップ 8

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

ステップ 8.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

ステップ 9.1.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

ステップ 9.2

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

ステップ 9.3

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ に $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

ステップ 9.4

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ に $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ をかけます。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

ステップ 9.5

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

ステップ 9.6

簡約します。

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

ステップ 9.7

$\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

ステップ 9.8

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ を $- (\sqrt{2} - 2)$ に書き換えます。

$- (\sqrt{2} - 2)$

ステップ 9.9

分配則を当てはめます。

$- \sqrt{2} - - 2$

ステップ 9.10

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- \sqrt{2} + 2$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \sqrt{2} + 2$

10進法形式：

$0.58578643 \dots$

微分積分 例

微分積分例