微分積分例

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x - y}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - y}$ を ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${({(x - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - y)}^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

ステップ 5.2

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]}{x - y}$

ステップ 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - y$ とします。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y])}{x - y}$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y]}{x - y}$

ステップ 12

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{x - y}$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{x - y}$

ステップ 14

$- y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - y}$

ステップ 15

式を簡約します。

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ステップ 15.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - y}$

ステップ 15.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 16

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 17

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 19

指数を足して ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 19.1

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 19.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{{(x - y)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{{(x - y)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 20

${(x - y)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$\frac{\frac{(x - y) \cdot 2 - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 21

$2$ を $x - y$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{2 \cdot (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$

ステップ 22

$\frac{\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}}{x - y}$ を積として書き換えます。

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - y}$

ステップ 23

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x - y}$ をかけます。

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}} (x - y)}$

ステップ 24

$x - y$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x - y) - x}{2 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 25

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 26

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 27

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 28

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 (x - y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 29

簡約します。

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ステップ 29.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 2 (- y) - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 29.2

分子を簡約します。

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ステップ 29.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x - 2 y - x}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 29.2.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x - 2 y}{2 {(x - y)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例