微分積分例

$- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$

ステップ 1

総和則では、 $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ の $p$ に関する積分は $\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ です。

$\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d p} [- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- \frac{3}{4}$ は $p$ に対して定数なので、 $p$ に対する $- \frac{3}{4} \cdot \log_{3} (16 p^{4})$ の微分係数は $- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})]$ です。

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d p} [\log_{3} (16 p^{4})] + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.2

$f (p) = \log_{3} (p)$ および $g (p) = 16 p^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ は $f' (g (p)) g' (p)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $16 p^{4}$ とします。

$- \frac{3}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.2.2

$u_{1}$ に関する $\log_{3} (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ です。

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $16 p^{4}$ で置き換えます。

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} \frac{d}{d p} [16 p^{4}]) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.3

$16$ は $p$ に対して定数なので、 $p$ に対する $16 p^{4}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d p} [p^{4}]$ です。

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 \frac{d}{d p} [p^{4}])) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (16 (4 p^{3}))) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.5

$4$ に $16$ をかけます。

$- \frac{3}{4} (\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)} (64 p^{3})) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.6

$64$ と $\frac{1}{16 p^{4} \ln (3)}$ をまとめます。

$- \frac{3}{4} (\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)} p^{3}) + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.7

$\frac{64}{16 p^{4} \ln (3)}$ と $p^{3}$ をまとめます。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{64 p^{3}}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.8

$64$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$16$ を $64 p^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$16$ を $16 p^{4} \ln (3)$ で因数分解します。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.8.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{16 (4 p^{3})}{16 (p^{4} \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.8.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4 p^{3}}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.9

$p^{3}$ と $p^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$p^{3}$ を $4 p^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{4} \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$p^{3}$ を $p^{4} \ln (3)$ で因数分解します。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.9.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{p^{3} \cdot 4}{p^{3} (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.9.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.10

$\frac{4}{p \ln (3)}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$- \frac{4 \cdot 3}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.11

$4$ に $3$ をかけます。

$- \frac{12}{p \ln (3) \cdot 4} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.12

$4$ を $p \ln (3)$ の左に移動させます。

$- \frac{12}{4 \cdot (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.13

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 3}{4 p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1

$4$ を $4 p \ln (3)$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.13.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{4 \cdot 3}{4 (p \ln (3))} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 2.13.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} + \frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d p} [- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{2}{3}$ は $p$ に対して定数なので、 $p$ に対する $- \frac{2}{3} \cdot \log_{3} (8 p^{3})$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$ です。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \frac{d}{d p} [\log_{3} (8 p^{3})]$

ステップ 3.2

$f (p) = \log_{3} (p)$ および $g (p) = 8 p^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ は $f' (g (p)) g' (p)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $8 p^{3}$ とします。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\log_{3} (u_{2})] \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $\log_{3} (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2} \ln (3)}$ です。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{u_{2} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $8 p^{3}$ で置き換えます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} \frac{d}{d p} [8 p^{3}])$

ステップ 3.3

$8$ は $p$ に対して定数なので、 $p$ に対する $8 p^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d p} [p^{3}]$ です。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 \frac{d}{d p} [p^{3}]))$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (8 (3 p^{2})))$

ステップ 3.5

$3$ に $8$ をかけます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)} (24 p^{2}))$

ステップ 3.6

$24$ と $\frac{1}{8 p^{3} \ln (3)}$ をまとめます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} (\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)} p^{2})$

ステップ 3.7

$\frac{24}{8 p^{3} \ln (3)}$ と $p^{2}$ をまとめます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{24 p^{2}}{8 p^{3} \ln (3)}$

ステップ 3.8

$24$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

$8$ を $24 p^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 p^{3} \ln (3)}$

ステップ 3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

$8$ を $8 p^{3} \ln (3)$ で因数分解します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

ステップ 3.8.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8 (3 p^{2})}{8 (p^{3} \ln (3))}$

ステップ 3.8.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 p^{2}}{p^{3} \ln (3)}$

ステップ 3.9

$p^{2}$ と $p^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.1

$p^{2}$ を $3 p^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{3} \ln (3)}$

ステップ 3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1

$p^{2}$ を $p^{3} \ln (3)$ で因数分解します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

ステップ 3.9.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{p^{2} \cdot 3}{p^{2} (p \ln (3))}$

ステップ 3.9.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{p \ln (3)}$

ステップ 3.10

$\frac{3}{p \ln (3)}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{p \ln (3) \cdot 3}$

ステップ 3.11

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{p \ln (3) \cdot 3}$

ステップ 3.12

$3$ を $p \ln (3)$ の左に移動させます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{6}{3 \cdot (p \ln (3))}$

ステップ 3.13

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 p \ln (3)}$

ステップ 3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.2.1

$3$ を $3 p \ln (3)$ で因数分解します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

ステップ 3.13.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{3 \cdot 2}{3 (p \ln (3))}$

ステップ 3.13.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{p \ln (3)} - \frac{2}{p \ln (3)}$

ステップ 4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 - 2}{p \ln (3)}$

ステップ 4.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 5}{p \ln (3)}$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{p \ln (3)}$

微分積分 例

微分積分例