微分積分例

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ です。

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$p$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.2

$\frac{p \cdot 4}{3}$ と ${(r + h)}^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.3

$4$ を $p$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.4

$\frac{4 p}{3}$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ です。

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.5

$f (r) = r^{3}$ および $g (r) = r + h$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ は $f' (g (r)) g' (r)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r + h$ とします。

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.5.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $r + h$ で置き換えます。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.6

総和則では、 $r + h$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ です。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.8

$h$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $h$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.10

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.11

$3$ と $\frac{4 p}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.12

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.13

$\frac{12 p}{3}$ と ${(r + h)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.14

$12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$3$ を $12 p {(r + h)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 2.14.2.4

$4 p {(r + h)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$p$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

ステップ 3.2

$r^{3}$ と $\frac{p \cdot 4}{3}$ をまとめます。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

ステップ 3.3

$4$ を $p$ の左に移動させます。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

ステップ 3.4

$4$ を $r^{3}$ の左に移動させます。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

ステップ 3.5

$- \frac{4 p}{3}$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ の微分係数は $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ です。

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

ステップ 3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

ステップ 3.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

ステップ 3.8

$- 3$ と $\frac{4 p}{3}$ をまとめます。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

ステップ 3.9

$4$ に $- 3$ をかけます。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

ステップ 3.10

$\frac{- 12 p}{3}$ と $r^{2}$ をまとめます。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

ステップ 3.11

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$3$ を $- 12 p r^{2}$ で因数分解します。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

ステップ 3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

ステップ 3.11.2.2

共通因数を約分します。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

ステップ 3.11.2.3

式を書き換えます。

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

ステップ 3.11.2.4

$- 4 p r^{2}$ を $1$ で割ります。

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${(r + h)}^{2}$ を $(r + h) (r + h)$ に書き換えます。

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(r + h) (r + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

分配則を当てはめます。

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.2.2

分配則を当てはめます。

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.2.3

分配則を当てはめます。

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$r$ に $r$ をかけます。

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.3.2

$r h$ と $h r$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$r$ と $h$ を並べ替えます。

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.3.2.2

$h r$ と $h r$ をたし算します。

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.4

分配則を当てはめます。

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

ステップ 4.2.5

$2$ に $4$ をかけます。

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

ステップ 4.3

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.1

$4 p r^{2}$ と $- 4 r^{2} p$ について因数を並べ替えます。

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

ステップ 4.3.2

$4 r^{2} p$ から $4 r^{2} p$ を引きます。

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

ステップ 4.3.3

$8 p h r + 4 p h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$8 p h r + 4 p h^{2}$

微分積分 例

微分積分例