微分積分例

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

ステップ 1

総和則では、 ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ です。

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (t) = t^{4}$ および $g (t) = 8 t - 7$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $8 t - 7$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $8 t - 7$ で置き換えます。

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $8 t - 7$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ です。

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.3

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $8 t$ の微分係数は $8 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.5

$- 7$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.6

$8$ に $1$ をかけます。

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.7

$8$ と $0$ をたし算します。

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 2.8

$8$ に $4$ をかけます。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (t) = t^{4}$ および $g (t) = 8 t + 7$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $8 t + 7$ とします。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

ステップ 3.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $8 t + 7$ で置き換えます。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

ステップ 3.2

総和則では、 $8 t + 7$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ です。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

ステップ 3.3

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $8 t$ の微分係数は $8 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

ステップ 3.5

$7$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

ステップ 3.6

$8$ に $1$ をかけます。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

ステップ 3.7

$8$ と $0$ をたし算します。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

ステップ 3.8

$8$ に $4$ をかけます。

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$32$ を $32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$32$ を $32 {(8 t - 7)}^{3}$ で因数分解します。

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

ステップ 4.1.2

$32$ を $32 {(8 t + 7)}^{3}$ で因数分解します。

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.1.3

$32$ を $32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ で因数分解します。

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

二項定理を利用します。

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

積の法則を $8 t$ に当てはめます。

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.2

$8$ を $3$ 乗します。

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.3

積の法則を $8 t$ に当てはめます。

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.4

$8$ を $2$ 乗します。

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.5

$64$ に $3$ をかけます。

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.6

$- 7$ に $192$ をかけます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.7

$8$ に $3$ をかけます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.8

$- 7$ を $2$ 乗します。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.9

$49$ に $24$ をかけます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.2.10

$- 7$ を $3$ 乗します。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

ステップ 4.2.3

二項定理を利用します。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

積の法則を $8 t$ に当てはめます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.2

$8$ を $3$ 乗します。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.3

積の法則を $8 t$ に当てはめます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.4

$8$ を $2$ 乗します。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.5

$64$ に $3$ をかけます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.6

$7$ に $192$ をかけます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.7

$8$ に $3$ をかけます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.8

$7$ を $2$ 乗します。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.9

$49$ に $24$ をかけます。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

ステップ 4.2.4.10

$7$ を $3$ 乗します。

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

ステップ 4.3

$512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1344 t^{2}$ と $1344 t^{2}$ をたし算します。

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

ステップ 4.3.2

$512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ と $0$ をたし算します。

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

ステップ 4.3.3

$- 343$ と $343$ をたし算します。

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

ステップ 4.3.4

$512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ と $0$ をたし算します。

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

ステップ 4.4

$512 t^{3}$ と $512 t^{3}$ をたし算します。

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

ステップ 4.5

$1176 t$ と $1176 t$ をたし算します。

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

ステップ 4.6

分配則を当てはめます。

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

ステップ 4.7

$1024$ に $32$ をかけます。

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

ステップ 4.8

$2352$ に $32$ をかけます。

$32768 t^{3} + 75264 t$

微分積分 例

微分積分例