微分積分例

$\frac{21 \sqrt[3]{x}}{x^{2} - 8}$

ステップ 1

$f (x) = 21 \sqrt[3]{x}$ および $g (x) = x^{2} - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 \sqrt[3]{x}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 x^{\frac{1}{3}}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2.2

$21$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $21 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 9

$21$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21 x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 11

$3$ を $21$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$3$ を $3 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 (x^{\frac{2}{3}})} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 13

総和則では、 $x^{2} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 15

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 16

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$x^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.1

$x^{\frac{2}{3}}$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2.2

$7$ を $x^{\frac{4}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2.3

$- 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

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ステップ 17.2.3.1

$- 8$ と $\frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 \cdot 7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2.3.2

$- 8$ に $7$ をかけます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2.5

$- 1$ に $21$ をかけます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.2.6

$2$ に $- 21$ をかけます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 \sqrt[3]{x} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.3

項をまとめます。

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ステップ 17.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{1}{3}} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 (x^{1} x^{\frac{1}{3}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{1 + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3 + 1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.3.6

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{4}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.3.7

$7 x^{\frac{4}{3}}$ から $42 x^{\frac{4}{3}}$ を引きます。

$\frac{- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4

分子を簡約します。

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ステップ 17.4.1

$- 7$ を $- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1.1

$- 7$ を $- 35 x^{\frac{4}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.1.2

$- 7$ を $- \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ で因数分解します。

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.1.3

$- 7$ を $- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})$ で因数分解します。

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.3

$- - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + 1 \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.3.2

$\frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.4

$5 x^{\frac{4}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{- 7 (\frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.6

指数を足して $x^{\frac{4}{3}}$ に $x^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.6.1

$x^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{- 7 \frac{5 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.6.4

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{6}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.4.6.5

$6$ を $3$ で割ります。

$\frac{- 7 \frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.5

$- 7$ と $\frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

ステップ 17.8

$\frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$ に $\frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.9

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 8)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例