微分積分例

$f (x) = (1 + 7 x^{2}) (x - x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = 1 + 7 x^{2}$ および $g (x) = x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$(1 + 7 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + 7 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(1 + 7 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + 7 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

ステップ 3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

ステップ 4.2

総和則では、 $1 + 7 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ です。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 (2 x))$

ステップ 5.3

$2$ に $7$ をかけます。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 14 x)$

ステップ 6

$0$ と $14 x$ をたし算します。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (14 x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5

項をまとめます。

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ステップ 7.5.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.2

$- 2$ に $7$ をかけます。

$- 2 x - 14 x^{2} x + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 x - 14 (x^{1} x^{2}) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x - 14 x^{1 + 2} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.6

$1$ に $1$ をかけます。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.7

$7$ に $1$ をかけます。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.8

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.9

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x^{1}) - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{1 + 1} - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - x^{2} (14 x)$

ステップ 7.5.12

$14$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{2} x$

ステップ 7.5.13

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 (x^{1} x^{2})$

ステップ 7.5.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{1 + 2}$

ステップ 7.5.15

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{3}$

ステップ 7.5.16

$7 x^{2}$ と $14 x^{2}$ をたし算します。

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 21 x^{2} - 14 x^{3}$

ステップ 7.5.17

$- 14 x^{3}$ から $14 x^{3}$ を引きます。

$- 2 x - 28 x^{3} + 1 + 21 x^{2}$

ステップ 7.6

項を並べ替えます。

$- 28 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x + 1$

微分積分 例

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