微分積分例

$y = \frac{2 x + 5}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$f (x) = 2 x + 5$ および $g (x) = \sqrt{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{\sqrt{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sqrt{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x} (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sqrt{x} (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 4.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 4.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$2$ を $\sqrt{x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \sqrt{x} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$2$ を $- (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.2.2

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{x} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{x} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{2 \sqrt{x} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{x} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.7

$- 5$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 11.4

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 11.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 11.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 11.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

ステップ 11.4.5

簡約します。

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

$- x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.2

$- x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.4.1.1

$- 1$ を $- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.4.1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.1.2

$- 1$ を $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.1.3

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.1.4

$- 1$ を $- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.2

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.4.1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{- (2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{2}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{- (2 x^{1} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.1.3

$2 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{- (2 x + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

ステップ 11.6.5

$2 \sqrt{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.6

$2 \sqrt{x}$ と $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- (2 x + 5) + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.4

$2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.8.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.4.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.8.4.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.4.6.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.5

簡約します。

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.6.8.6

$- 2 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 11.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 11.8

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.1

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 11.8.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 11.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 11.8.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 11.8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 11.8.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例