微分積分例

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

ステップ 1

連鎖律は、 $x$ に関する $y$ の導関数は、 $u$ に関する $y$ の導関数の、 $x$ に関する $u$ の導関数をかけたものと等しいということを述べています。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

ステップ 2

$\frac{d y}{d u}$ を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $u^{2} + 1$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ です。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

ステップ 2.3

$1$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 u + 0$

ステップ 2.4

$2 u$ と $0$ をたし算します。

$2 u$

ステップ 3

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 3.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 4

$\frac{d y}{d u}$ に $\frac{d u}{d x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

ステップ 5

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

ステップ 6

$u$ の値を微分係数 $6 u$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

ステップ 7

結果を簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

ステップ 7.2

掛け算します。

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ステップ 7.2.1

$3$ に $6$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

ステップ 7.2.2

$6$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$

微分積分 例

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