微分積分例

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ は $n A^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2000$ は $A$ に対して定数なので、 $A$ に対する $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ の微分係数は $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ です。

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

ステップ 3.2

$f (A) = A^{60}$ および $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ のとき、 $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ は $f' (g (A)) g' (A)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + \frac{r}{12}$ とします。

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

ステップ 3.2.2

$n = 60$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + \frac{r}{12}$ で置き換えます。

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$60$ に $2000$ をかけます。

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $1 + \frac{r}{12}$ の $A$ に関する積分は $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ です。

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

ステップ 3.3.3

$1$ は $A$ について定数なので、 $A$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

ステップ 3.3.4

$0$ と $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ をたし算します。

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

ステップ 3.3.5

$\frac{1}{12}$ は $A$ に対して定数なので、 $A$ に対する $\frac{r}{12}$ の微分係数は $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ です。

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

ステップ 3.3.6

項を簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$\frac{1}{12}$ と $120000$ をまとめます。

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

ステップ 3.3.6.2

$\frac{120000}{12}$ と ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ をまとめます。

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

ステップ 3.3.6.3

$120000$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.3.1

$12$ を $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ で因数分解します。

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

ステップ 3.3.6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.3.2.1

$12$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

ステップ 3.3.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

ステップ 3.3.6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

ステップ 3.3.6.3.2.4

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ を $1$ で割ります。

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d A} [r]$ を $r'$ に書き換えます。

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

ステップ 5

$r'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ として書き換えます。

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

ステップ 5.2

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ の各項を $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ の各項を $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ で割ります。

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$10000$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

ステップ 5.2.2.2

${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

ステップ 5.2.2.2.2

$r'$ を $1$ で割ります。

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

ステップ 5.2.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

ステップ 5.2.3.1.3

積の法則を $\frac{12 + r}{12}$ に当てはめます。

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

ステップ 5.2.3.2

$10000$ と $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ をまとめます。

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

ステップ 5.2.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

ステップ 5.2.3.4

$\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ に $1$ をかけます。

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

ステップ 6

$r'$ を $\frac{d r}{d A}$ で置き換えます。

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

微分積分 例

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