微分積分例

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

ステップ 2

$p$ に関する $w$ の微分係数は $w'$ です。

$w'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (p) = \log_{8} (p)$ および $g (p) = 2^{p} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ は $f' (g (p)) g' (p)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2^{p} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\log_{8} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (8)}$ です。

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $2^{p} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

ステップ 3.2

総和則では、 $2^{p} - 1$ の $p$ に関する積分は $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ です。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

ステップ 3.3

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ は $a^{p} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ は $p$ について定数なので、 $p$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

ステップ 3.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$2^{p} \ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

ステップ 3.4.2.2

$2^{p}$ と $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ をまとめます。

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

ステップ 3.4.2.3

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ と $\ln (2)$ をまとめます。

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

ステップ 3.5.2

$- 1 \ln (8)$ を $- \ln (8)$ に書き換えます。

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

ステップ 5

$w'$ を $\frac{d w}{d p}$ で置き換えます。

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

微分積分 例

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