微分積分例

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} y + y x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (y) = x^{2}$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x$ とします。

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.2.5

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.2.6

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (y) = y$ および $g (y) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.2

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.5

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

項をまとめます。

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ステップ 2.4.1.1

$2 y x x'$ と $2 y x x'$ をたし算します。

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

ステップ 2.4.1.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$2 x^{2} + 4 y x x'$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$2 x^{2} + 4 x y x'$

ステップ 3

$6$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x^{2}$ を引きます。

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

ステップ 5.2

$4 x y x' = - 2 x^{2}$ の各項を $4 x y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4 x y x' = - 2 x^{2}$ の各項を $4 x y$ で割ります。

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

ステップ 5.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

ステップ 5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

ステップ 5.2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

ステップ 5.2.2.3.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$2$ を $4 x y$ で因数分解します。

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

ステップ 5.2.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.2.1

$x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

ステップ 5.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

ステップ 5.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$x' = \frac{- x}{2 y}$

ステップ 5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{x}{2 y}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$

微分積分 例

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