微分積分例

$\sec^{3} (2 x)$

ステップ 1

$\sec (2 x)$ を $\sec^{3} (2 x)$ で因数分解します。

$\int \sec (2 x) \sec^{2} (2 x) d x$

ステップ 2

$u = \sec (2 x)$ と $d v = \sec^{2} (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $\tan (2 x)$ をまとめます。

$\sec (2 x) \frac{\tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

ステップ 4.2

$\sec (2 x)$ と $\frac{\tan (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

ステップ 5

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) d x)$

ステップ 6

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) d x)$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) d x)$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) d x)$

ステップ 8.2

$\tan^{2} (2 x)$ と $\sec (2 x)$ を並べ替えます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sec (2 x) \tan^{2} (2 x) d x)$

ステップ 9

$u = \sec (2 x)$ と $d v = \tan^{2} (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

ステップ 10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

ステップ 11

項を簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $\tan (2 x)$ をまとめます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と $\tan (2 x)$ をまとめます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

ステップ 11.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

ステップ 11.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

ステップ 11.5

$\sec (2 x)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

ステップ 11.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + 2 (\frac{2}{2}) \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

ステップ 11.7

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

ステップ 11.8

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{4}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

ステップ 12

$\int \sec^{3} (2 x) d x$ を解くと、 $\int \sec^{3} (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

ステップ 13

答えを簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

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ステップ 13.1.1

$2$ を $\sec (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \cdot \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

ステップ 13.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

ステップ 13.1.2.2

$\sec (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

ステップ 13.1.3

$- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot \frac{2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

ステップ 13.1.4

$- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} + \frac{- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

ステップ 13.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

ステップ 13.1.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

ステップ 13.1.7

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.7.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + C$

ステップ 13.1.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + C$

ステップ 13.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + C$

ステップ 13.1.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 1}{1}} + C$

ステップ 13.1.7.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1} + C$

ステップ 13.1.8

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

ステップ 13.1.9

$- 1 \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ を $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

ステップ 13.2

$- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$ を $- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$ に書き換えます。

$- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

$2$ を $\sec (2 x)$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot \sec (2 x) x}{2} + C$

ステップ 13.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \sec (2 x) x}{2} + C$

ステップ 13.3.2.2

$\sec (2 x) x$ を $1$ で割ります。

$- (\sec (2 x) x) + C$

$- \sec (2 x) x + C$

微分積分 例

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