微分積分例

$y = 5 (\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 (\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \tan (x) + \sec (x)$ および $g (x) = \tan (x) - \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) - \sec (x)] + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

ステップ 3

総和則では、 $\tan (x) - \sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ です。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sec (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

ステップ 6

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - (\sec (x) \tan (x))) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

ステップ 7

総和則では、 $\tan (x) + \sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 8

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

ステップ 9

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)))$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x))) + 5 ((\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)))$

ステップ 10.2

括弧を削除します。

$5 (\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + 5 (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x))$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$5 (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

分配則を当てはめます。

$(5 \sec^{2} (x) + 5 (- \sec (x) \tan (x))) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$(5 \sec^{2} (x) - 5 (\sec (x) \tan (x))) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(5 \sec^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) + \sec (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1

分配則を当てはめます。

$5 \sec^{2} (x) (\tan (x) + \sec (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.3.2

分配則を当てはめます。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.3.3

分配則を当てはめます。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.4.1.1

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.4.1.1.1

$\sec (x)$ を移動させます。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.1.2

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.4.1.1.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 {\sec (x)}^{1 + 2} - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.2

$- 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.4.1.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.2.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.3

$- 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.4.1.3.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.3.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.2

$5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ から $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ を引きます。

$0 + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.4.3

$0$ と $5 \sec^{3} (x)$ をたし算します。

$5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.5

$5 \sec (x)$ を $5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.5.1

$5 \sec (x)$ を $5 \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.5.2

$5 \sec (x)$ を $- 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.5.3

$5 \sec (x)$ を $5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$5 \sec (x) \cdot 1 + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.7

$5$ に $1$ をかけます。

$5 \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.8

分配則を当てはめます。

$5 \sec (x) + (5 \sec^{2} (x) + 5 (\sec (x) \tan (x))) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.9

分配法則（FOIL法）を使って $(5 \sec^{2} (x) + 5 \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.9.1

分配則を当てはめます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.9.2

分配則を当てはめます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) (- \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) - \sec (x))$

ステップ 10.4.9.3

分配則を当てはめます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) (- \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.10.1.1

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.10.1.1.1

$\sec (x)$ を移動させます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.1.2

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.10.1.1.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 {\sec (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.3

$5 \sec (x) \tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.10.1.3.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.3.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

ステップ 10.4.10.1.4

$5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.10.1.4.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x)$

ステップ 10.4.10.1.4.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

ステップ 10.4.10.1.4.3

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

ステップ 10.4.10.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

ステップ 10.4.10.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 10.4.10.2

$5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ から $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ を引きます。

$5 \sec (x) + 0 - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

ステップ 10.4.10.3

$0$ から $5 \sec^{3} (x)$ を引きます。

$5 \sec (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

ステップ 10.4.11

$5 \sec (x)$ を $- 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.11.1

$5 \sec (x)$ を $- 5 \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

ステップ 10.4.11.2

$5 \sec (x)$ を $5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (\tan^{2} (x))$

ステップ 10.4.11.3

$5 \sec (x)$ を $5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (\tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))$

ステップ 10.4.12

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))$

ステップ 10.4.13

$- 1$ を $\tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))$

ステップ 10.4.14

$- 1$ を $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))$

ステップ 10.4.15

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- 1 \cdot 1)$

ステップ 10.4.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) \cdot - 1$

ステップ 10.4.17

$- 1$ に $5$ をかけます。

$5 \sec (x) - 5 \sec (x)$

ステップ 10.5

$5 \sec (x)$ から $5 \sec (x)$ を引きます。

$0$

微分積分 例

微分積分例