微分積分例

$y = \frac{\cos (π x)}{\sin (π x) + \cos (π x)}$

ステップ 1

$f (x) = \cos (π x)$ および $g (x) = \sin (π x) + \cos (π x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) \frac{d}{d x} [\cos (π x)] - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $π x$ とします。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \cdot 1)) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 3.4

総和則では、 $\sin (π x) + \cos (π x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ です。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π x$ とします。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 5.3

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 6

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $π x$ とします。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 6.2

$u_{3}$ に関する $\cos (u_{3})$ の微分係数は $- \sin (u_{3})$ です。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 6.3

$u_{3}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \cdot 1))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 7.3

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 8.3.1.1

$\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ から $\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ を引きます。

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) + 0}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

$\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- π \sin (π x) \sin (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2.2

$- π \sin (π x) \sin (π x)$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.2.1

$\sin (π x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2.2.2

$\sin (π x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin^{1} (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- π {\sin (π x)}^{1 + 1} - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2.3

$- \cos (π x) (\cos (π x) π)$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.3.1

$\cos (π x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2.3.2

$\cos (π x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos^{1} (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - {\cos (π x)}^{1 + 1} π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.3.3

$- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.4

$- π$ を $- π \sin^{2} (π x)$ で因数分解します。

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.5

$- π$ を $- π \cos^{2} (π x)$ で因数分解します。

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.6

$- π$ を $- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))$ で因数分解します。

$\frac{- π (\sin^{2} (π x) + \cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- π \cdot 1}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

ステップ 8.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

微分積分 例

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