微分積分例

$y = \log_{3} (\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x}$ を ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\log_{3} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})]$

ステップ 2

$f (x) = \log_{3} (x)$ および $g (x) = {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\log_{3} (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ および $g (x) = 2 x^{4} - 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{4} - 6 x$ とします。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{4} - 6 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 7.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 9

$\frac{1}{4}$ と ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{{(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

ステップ 11

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}}$ に $\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)}$ をかけます。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

ステップ 12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 + 3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

ステップ 13.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

ステップ 14

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

ステップ 14.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

ステップ 16

総和則では、 $2 x^{4} - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

ステップ 17

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

ステップ 18

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

ステップ 19

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

ステップ 20

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 21

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \cdot 1)$

ステップ 22

$- 6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

ステップ 23

簡約します。

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ステップ 23.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{(4 (2 x^{4}) + 4 (- 6 x)) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

ステップ 23.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4 (2 x^{4}) \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

ステップ 23.3

項をまとめます。

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ステップ 23.3.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

ステップ 23.3.2

$- 6$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

ステップ 23.4

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$ の因数を並べ替えます。

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)}$

ステップ 23.5

$8 x \ln (3)$ を $8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)$ で因数分解します。

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ステップ 23.5.1

$8 x \ln (3)$ を $8 x^{4} \ln (3)$ で因数分解します。

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) - 24 x \ln (3)}$

ステップ 23.5.2

$8 x \ln (3)$ を $- 24 x \ln (3)$ で因数分解します。

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)}$

ステップ 23.5.3

$8 x \ln (3)$ を $8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)$ で因数分解します。

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

ステップ 23.6

$8 x^{3} - 6$ に $\frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$ をかけます。

$\frac{8 x^{3} - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

ステップ 23.7

$8 x^{3} - 6$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 23.7.1

$2$ を $8 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 x^{3}) - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

ステップ 23.7.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

ステップ 23.7.3

$2$ を $2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

ステップ 23.7.4

共通因数を約分します。

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ステップ 23.7.4.1

$2$ を $8 x \ln (3) (x^{3} - 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

ステップ 23.7.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

ステップ 23.7.4.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{3} - 3}{4 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

微分積分 例

微分積分例