微分積分例

$y = e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + \sin (x) e^{x} + \cos (x) e^{x}$

ステップ 6.3

項をまとめます。

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ステップ 6.3.1

$\sin (x)$ と $e^{x}$ を並べ替えます。

$e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 6.3.2

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 6.3.3

$- e^{x} \sin (x)$ と $e^{x} \sin (x)$ をたし算します。

$e^{x} \cos (x) + 0 + \cos (x) e^{x}$

ステップ 6.3.4

$e^{x} \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$e^{x} \cos (x) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 6.3.5

$e^{x} \cos (x)$ と $\cos (x) e^{x}$ をたし算します。

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ステップ 6.3.5.1

$\cos (x)$ と $e^{x}$ を並べ替えます。

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

ステップ 6.3.5.2

$e^{x} \cos (x)$ と $e^{x} \cos (x)$ をたし算します。

$2 e^{x} \cos (x)$

微分積分 例

微分積分例